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Atividade Financiada

Equação de Schrödinger não linear de quarta ordem: boa colocação quase certa e conjectura de resolução de solitão

Fourth order nonlinear Schrödinger equation : almost sure well-posedness and soliton resolution conjecture

Referência
2024.13582.PEX
Data de Início do Projeto
2026-02-02
Data de Fim do Projeto
2027-08-01
Investigador Principal
Área Científica
Ciências exatas
Programa de Financiamento
Concurso para Projetos de Investigação de caráter Exploratório em Todos os Domínios Científicos 2024

Resumo

O objetivo deste programa de pesquisa é fazer avanços teóricos em diversos questões profundas e desafiadoras em PDEs. Mais especificamente, a maior parte deste programa trata de uma equação de Schrödinger de difusão mista não linear de quarta ordem (4NLS). O termo de quarta ordem foi introduzido por Karpman e Shagalov como parte de uma correção não paraxial ao NLS para evitar explosões em tempo finito em dimensões baixas. Este programa de pesquisa será dividido em duas partes. A primeira trata do caracter bem posto quase certo desta equação. O principal objetivo seria desenvolver uma contrapartida dispersiva às estruturas de regularidade de Martin Hairer para SPDEs. É bem conhecido desde o trabalho de Christ, Colliander e Tao que o NLS está deterministicamente mal posto se os dados iniciais forem muito irregulares. Por outro lado, graças aos trabalhos de Bourgain, é possível mostrar resultados de boa colocação probabilística para dados iniciais abaixo do limite de regularidade determinística. Nosso foco principal será considerar o caracter bem posto quase certo (ASWP) do 4NLS em todo o espaço. Neste cenário, dois tipos diferentes de abordagens podem ser usados. A primeira, introduzida por Bényi,Oh e Pocovnicu, consiste em decompor os dados iniciais em frequência em cubos unitários e multiplicar cada cubo por uma variável aleatória gaussiana. Esta randomização chamada randomização de Wiener permite melhorar a integrabilidade dos dados iniciais sem alterar sua diferenciabilidade. Nosso principal objetivo nesta configuração é obter ASWP local e global para uma grande classe de equações (mudando o operador e a não linearidade) para dados iniciais em H^s para qualquer s>0. A segunda abordagem para obter ASWP é o uso de medidas invariantes introduzidas por Bourgain. Ele considerou principalmente equações em espaços compactos, principalmente no toro. A ideia de Bourgain era construir uma medida de Gibbs invariante que é obtida usando a invariância temporal formal do funcional energia. Tal medida é necessariamente supportada em espaços poco suave (a energia não é a priori bem definida em tão baixa regularidade). Sabe-se que tal medida só pode existir em dimensõesbaixas, nomeadamente estritamente inferiores a 4. Outra forma de construir uma medida invariante é utilizar o chamado método de dissipação-flutuação introduzido por Kuksin e Shirikyan. O principal interesse deste método é o facto de se poder controlar a regularidade do supporto da medida. Portanto, é possível utilizar este método para obter medidas invariantes em situações onde não existem medidas de Gibbs. No entanto, a desvantagem é que esta medida de dissipação-flutuação não é explícita, pelo que é difícil estudar a sua informação qualitativa. Como já foi escrito, estas duas construções são realizadas em espaços de base compactos como o toro (ou em todo o espaço com potencial confinante) principalmente para utilizar a aproximação de Galerkin. Nosso principal objetivo neste contexto seria considerar tais medidas no toro do período L e passar ao limite à medida que L vai para o infinito. Isto nos permitirá obter resultados ASWP em todo o espaço. Neste cenário e conforme explicado posteriormente, nosso foco principal será dado às equações que envolvem a não-linearidade de Hartree, nomeadamente (V\ast |u|^2) u onde V atua aproximadamente como uma anti-derivada de ordem k. A segunda parte deste projeto é dedicada à construção e análise do comportamento qualitativo de soluções de explosão no regime energétia crítica. Neste cenário, uma conjectura famosa é a da resolução sóliton. Afirma que uma solução com energia finita deve se decompor assintoticamente como uma soma de um número finito de bolhas e um termo de radiação. A conjectura foi comprovada recentemente por Jendrej e Lawrie para a equação de onda crítica de energia para soluções radial. Para a equação de Schrödinger, esta conjectura é totalmente aberta. O foco principal desta parte do projeto é classificar todas as soluções possíveis comportando-se assintoticamente como uma soma de bolhas multiplicada por alguma fase mais um termo de radiação. Vamos nos concentrar primeiro no caso radial. Começaremos construindo soluções na forma soma de duas bolhas ou soma de uma bolha e um termo de radiação. Então, provaremos que todos os parâmetros em nossa construção são 'rígidos' i.e. para uma solução que se decompõe assintoticamente como uma soma de duas bolhas centradas em 0, então a velocidade de explosão é única e o fase entre as duas bolhas forma necessariamente um ângulo reto. Para à solução que se parece com uma bolha mais uma radiação, deveríamos ser capazes de obter um contínuo de velocidades de explosão. Este fenômeno é novo mesmo para a equação clássica de Schrödinger. Uma vez compreendido o caso radial, trataremos do caso geral. A maioria das questões que consideramos neste programa já são novas para a equação NLS clássica.

Instituições

Instituições Principais

  • FCiênciasID Associação para a Investigação e Desenvolvimento de Ciências (Fciências.ID)

Financiamento 59.973,60 €

Fundação para a Ciência e a Tecnologia (FCT) - Portugal

59.973,60 €